数学课堂空白艺术的理论分析与实践思考

  摘要：数学课堂留白艺术，以“等待时间”理论、参与者知识观等为基础，为学生发现和提出、分析和解决问题创造了条件，能有效提高学生的课堂参与度，实现深度学习，促进学生核心素养的培养．当下中小学数学课堂教学实践中存在着留白艺术运用偏少，教师话语过多；时机不当，生成性留白少；流于形式，缺少思维含量；等等问题，值得关注与改进．

  关键词：数学课堂留白；内涵；理论基础；教学价值；实践反思

 

  苏霍姆林斯基认为：“有经验的教师往往只是微微打开一扇通往一望无际的知识原野的窗子．”诚然，在课堂教学中，教师如果讲授得太多，就会消减学生自我咀嚼的机会，反而可能削弱重点，易使学生因持久听讲而产生疲劳，感到枯燥乏味；设置课堂留白，给学生提供思考的“空白时间带”，则可以调动学生思维的主动性与积极性，让学生基于自己的理解构建认知结构．“留白”并不意味着什么都不做，而是要以此为契机启迪学生思维，产生“言有尽而意无穷”的效果．结合数学学科特点，旨在探析数学课堂留白的内涵、理论基础与教学价值，并对当下数学教学实践中存在的问题进行反思，以期提升数学课堂教学的效能，促进学生核心素养的发展．

  “留白”一词最初源于中国传统国画艺术，是许多艺术种类的重要表现手法之一．诗人称“空白”为“含蓄”，书法家称其为“飞白”，画家称其为“留白”或“布白”，音乐家叫它为“煞声”[1]．留白艺术即指创作者在作品中有意预留空白之处，为观者、读者或聆听者留下自主想象的空间．留白艺术的运用使得观者欣赏作品时能融入自身的思考与理解，不仅仅是被动地接受创作者的意图，而是有主动再创作的机会．虽然对于留白艺术的研究在国内兴起较早，但是将留白艺术应用于教育领域，对课堂教学留白进行研究在国内则起步较晚．国外对于留白艺术教学的研究，主要集中在理论基础方面．近年来，随着课程改革的推进，留白艺术在课堂教学中的运用在国内也得到高度重视，进行了积极的实践探索．

  2.1 数学课堂留白的内涵

  在当下数学课堂教学中，“满堂灌、一言堂”的教学方式显然已经不再适用，越来越多的数学教育研究者及一线教师开始关注数学课堂教学中留白艺术的运用．伏尔泰曾说：“令人讨厌的艺术是把什么都说出来了．”这也印证了课堂教学需要留白．就数学教育而言，课堂留白意味着：在某个课程主题的教学过程中，不将相关内容完全呈现给学生，有意识地留下一个“理解缺口”，让学生通过思考去填入自己的理解性结果；不以确定的学习内容填满整个教学时段，有意识地给学生留下一段时间思考属于自己的数学[2]．数学教学中的留白给学生留下思考和想象的空间，使得留白变成一种真正的智慧，更使师生间的思维空间得到契合[3]．数学课堂留白，指数学教师在课堂教学的某些环节中，有意留出一定的时间和空间让学生自主思考、感悟，为学生构建属于自己的数学认知结构，从事数学探究活动，表达对数学的理解提供机会．数学课堂留白艺术的运用，为师生思维火花的碰撞提供契机，有助于提高数学课堂教学的效能．

  2.2 数学课堂留白的理论基础

  中国传统道家思想强调无为而治，为数学课堂留白艺术提供了哲学基础，留白时看似无为却有所为．美学中常追求以虚衬实、虚实相生的境界，则为数学课堂留白艺术提供了美学基础．除此之外，“等待时间”理论和参与者知识观也为数学课堂留白艺术提供了丰富的理论基础．

  2.2.1 “等待时间”理论

  20 世纪 70 年代，美国心理学家罗伊针对课堂教学提出“等待时间”的观点，并将其细化为两类，即“第一等待时间”和“第二等待时间”．“第一等待时间”是指教师提出一个问题之后和请学生回答问题之前的间隔时间．“第二等待时间”是指学生回答问题之后和教师对学生的回答做出评论之前的间隔时间[4]．“第一等待时间”给学生机会从自身认知结构中搜索有效信息并加以整理，以便清晰而有逻辑地表述自己的观点．“第二等待时间”要求学生给出答案之后，教师适当停顿，而不是立即给出评价或反馈，这样可以给学生时间重新思考、修正并扩充答案，有利于学生完整地给出回答．研究表明，如果教师在提问之后，能把两种不同的等待时间分别延长至 3 秒或 3 秒以上，学生的逻辑思维、教师对学生的态度和期待都会发生显著的积极变化[4]．课堂教学中的合理留白，是“等待时间”理论的一种重要运用．“留白”与“等待”看似是在放慢速度，其实是为了追求更高的效率．在此过程中，学生的思维处于活跃状态，还可能会引申出与此相关的其它问题，课堂由此成为学生生成问题并解决问题的主要阵地[5]，有助于实现深度学习，促进学生全面可持续发展．

  2.2.2 参与者知识观

  数学知识不是纯粹传递与接收的结论性产品，而是个人参与构建、探究的生产性过程．数学学习者不必旁观所谓“权威的知识”，接受既定的知识，而是要在参与意义创生的过程中，亲历、体悟、生成知识，这就是数学知识获得的“参与者知识观”[6]．根据建构主义理论，教学过程不是传递已有知识，而是帮助学生在个人经验基础上建构和深化理解．数学课堂教学中的留白，为学生融入个人的体验、感悟与理解提供了机会，学生不再是被动接受数学知识的旁观者，而是数学理解、数学观建构的参与者，有助于学生逐步形成正确的价值观念，发展关键能力，促进其数学学科核心素养的达成．并非所有数学知识都能由教师用显性的方式直接教给学生，通过留白参与知识的建构，也有利于学生数学缄默知识的获得．

  A·A·斯托利亚尔认为，“数学教学是数学思维活动的教学”，其关键就在于教学生学会思考．在数学课堂中合理运用留白艺术，为学生提供发现问题、自主思考、深度学习的空间，有助于让学生成为数学活动的参与者和数学知识的建构者，将有效提升学生的思维品质．

  3.1 为学生发现和提出问题及分析和解决问题创造条件

  “问题是数学的心脏”，有效数学教学离不开高质量的好问题．《普通高中数学课程标准（2017 年版）》中明确提出“提高从数学角度发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力”的课程目标[7]．在数学课堂中合理运用留白艺术，可以给学生充分的时间、空间去思考，将发现和提出问题的主动权还给学生，鼓励学生自主分析和解决问题，有助于培养学生的数学学科核心素养，发挥学生学习的主体性．意大利教育家蒙台梭利曾说过：“我看到了，我忘记了；我听到了，我记住了；我做过了，我理解了．”这对数学教育具有重要的启发意义，很多内容仅仅听老师讲、看老师演示是不够的，学生只有自己经历分析与解决问题的过程才能形成对数学知识的深入理解，留白艺术的运用为其创造了条件．

  案例 1：三次函数性质的研究 

  教师提出如下问题：已知三次函数f (x) ＝ ax3 ＋ bx 2 ＋ cx ＋ d （a、b、c、d 为给定的实数，且 a≠ 0，x∈R），记其图象为曲线 C．探究 1：你觉得三次函数有哪些性质？你又是如何想到这些性质的？学生思考一段时间后，给出回答：在研究二次函数性质的基础上，想到可以研究三次函数的奇偶性，比如 y ＝ x3 是奇函数；对称性，包括对称轴、对称中心等；单调性；函数的范围，即函数的定义域、值域等；函数的零点；函数的周期性；函数是否有极值点，如果有，有几个… …教师对学生的回答进行总结，列出了一些想要研究的内容：问题 1 单调性（曲线 C 的形状）；问题 2 函数的极值；问题 3 函数的零点个数；问题 4 曲线 C 的对称性——中心对称；…………  这一案例中，教师没有直接告诉学生这节课将要学习的内容，而是在给出研究对象后，留出时间让学生自己思考想要研究三次函数的哪些性质，这样的留白很好地促进了学生的思维，学生对于自己提出的问题更感兴趣，研究的积极性也更高．在提出问题后，教师给了学生充分的时间自主探究并表达自己的想法，而不是直接讲解．在这样的数学课堂中，学生不用花很多精力去理解并跟随教师的“指令”，而可以更深刻地思考数学的本质．事实上，相较于三次函数具体性质的识记，更重要的是引导学生类比之前的研究过程，学会选择恰当的方法研究新的数学对象，这里留白艺术的运用起到了很好的效果．

  3.2 有效提高学生课堂参与度

  人的大脑不是被动地接受知识，它是永恒活动着的，能对外部的刺激做出最精密的反应[8]．在数学教学中运用留白艺术，能提高学生的课堂参与度，促进学生的思维活动，他们不再是机械地记忆老师传递的“知识”，而是可以及时对所获得的信息做出反应，融入自己的理解，积极建构自己的数学认知结构．数学课堂留白的过程是学生主动进行思维活动的过程，有助于学生形成自己的认知策略，培养其创新能力，对学生核心素养的达成具有重要意义．例如，数学模型是沟通数学与外部世界的重要桥梁，数学建模素养作为六大核心素养之一，值得充分关注．然而，仅通过教师的讲授难以切实提升学生的数学建模素养，教师在课堂教学中，可以考虑留出时间，让学生参与数学建模的过程，在做中学，积累数学实践的经验．这样的留白能有效提高学生的课堂参与度，也有助于学生提升用数学语言表达世界的能力．课堂教学的容量并不是越大越好，过度填塞知识反而不利于“消化吸收”．一整节数学课如果都是教师在讲授，学生很容易觉得枯燥乏味，注意力不容易集中．适当留白，包括安排小组合作、探究性学习活动等，则可以调节教学的节奏，避免紧张、沉闷的课堂气氛，使教学节奏松弛有度，提高学生数学学习的积极性与参与度．

  3.3 有助于学生深度学习实现“少教多学”

  近年来随着核心素养的提出与发展，深度学习逐渐成为教育领域关注的热点，数学深度学习的研究也已取得了一定的成果．数学深度学习是指在教师的引领下，学生围绕具有挑战性的数学学习主题，全身心积极参与、获得发展的有意义的学习过程；它与浅层学习相区别，不是简单的知识记忆，而是对学习内容有整体认知[9]．数学课堂留白艺术的运用为学生深度学习提供了空间，有助于学生调动已有的活动经验解决问题，梳理数学知识间的联系，构建知识结构体系，提升学生的数学学科核心素养．著名教育家夸美纽斯在其教育著作《大教学论》中指出应寻求并找出一种教学的方法，使教员因此可以少教，但学生可以多学．“少教多学”的理念在数学教育领域的运用也已取得了较为丰硕的实践成果．数学课堂上，如果教师一直在讲授，学生缺少思考的时间，是不利于其掌握数学知识、提升思维品质的，即“多教”并不一定能“多学”．鉴于此，适当减少数学教师课堂上的讲授，合理运用课堂留白，为学生的自主学习与反思创造了条件，有助于收到“少教多学”的效果．

  基于已有相关研究及对数学课堂教学的观察发现：目前中小学数学课堂留白艺术的运用仍存在一些有待商榷之处，值得数学教育工作者在教学实践与未来研究中进一步探索．

  4.1 课堂留白运用偏少而教师话语过多

  受到课时紧张、考试压力等诸多因素的影响，不少数学教师还是习惯于采用讲授法作为主要的教学方法，数学课堂中留给学生自主思考、表达想法的时间总体上还是偏少．讲授法固然是一种重要且高效的教学方式，但不能给学生留下数学就是枯燥的讲授、乏味的练习这样冰冷的印象．教师话语过多，反而会剥夺学生的思考空间，削弱学生思考问题、理解知识的质量与效力．鉴于此，教师应当有意识地在数学课堂中运用留白艺术，多给学生思考、探究、表达的机会，不可“操之过急”，避免在学生还未充分思考时就给予不必要的提示．以数学课堂的小结环节为例，课堂小结并不一定需要由教师来完成，完全可以考虑让学生自主回顾该节课的收获，这也是留白艺术运用的一种方式．在数学学习中，需要学习者相对独立地在原有知识结构的基础上进行新的建构，并且这种建构对于不同的学习者来说并非完全一致[10]．鉴于此，即使是上同一节课，不同学生也会有不同的收获，这更反映出在课堂小结处留白的意义．数学教师应给学生机会自主梳理，在学生小结基础上适当补充即可，这样才能真正发挥课堂小结应有的价值．在数学解题教学中，如果教师只是一味讲解，往往难以取得良好的效果，学生很可能出现诸如此类现象：教师讲时都懂，但自己做就不会了；教师课上讲过的题目会做，但稍有变化就不会了．究其原因，往往就在于“留白”不够，学生总是在高强度地接收着教师传递的信息，而缺少自己反思、消化的时间，教师所讲述的解题思路与要领并未内化到学生自身的认知结构之中，因而当学生独自面对相似的问题情境时便又手足无措．鉴于此，数学教师在讲解完一道题或者一类题之后，应当适当留白，给学生回顾整合的机会，从而实现举一反三、事半功倍的效果，而不是“就题讲题”、追求数量．

  4.2 课堂留白时机不当而生成性留白少

  有些数学教师也想在课堂上留出时间给学生思考，但对留白时机的把握还有所欠缺．对于简单的问题，学生可能一下子就可以得到正确答案，留白时间过长不仅影响了课堂进度，还会让学生失去兴趣；另一方面，对于难度过大的问题，教师不加点拨，便留了大量时间让学生独立作答，这对学生思维发展也是没有益处的，甚至会打击学生学习数学的信心[11]．课堂时间是有限的，并不是每个问题都需要过多地思考，同时为了避免影响教学的连贯性及教学进度，课堂留白应当注重时机，在与教学重难点紧密联系的“主问题”上可以多花时间，而一些不需要太多思考的细枝末节处则无需过多留白．课前的教学设计对课堂教学效果的好坏有重要影响，为了更从容地在课堂教学中运用留白艺术，教师需要在备课时就应根据课型、教学内容、学生情况等因素对课堂留白进行预设．然而除了预设性留白，教学中生成性留白也很重要，当下数学课堂教学中存在着生成性留白偏少的现象．“生成”是教学活动的基本特征，教学的目的、内容、过程等都应是在预设的基础上不断生成、发展与创造的．教师在教学中除了考虑预设性教学目标外，还应关注在教学活动中生发出来的生成性教学目标，“目标应是一般性的、生成性的，从而鼓励创造性的、互动的转变”[12]．课堂教学是师生互动的过程，常会出现“超出预期”的状况，其中亦不乏有思考价值的生成性问题．教师不应拘泥于预设，而应遵循数学课堂的动态生成性与“自组织性”，根据学生思维状态灵活调整教学决策．数学教师应充分利用课堂生成性资源，根据实际教学情况及时调整教学进度，敢于在恰当的时机进行生成性留白．

  案例 2：函数的四则运算求导法则

  在用导数的定义证明了 [ f (x) ＋ g(x)]＇ ＝ f ＇(x) ＋ g＇(x) 之后，教师启发学生思考如何得到函数积的求导法则，并留给学生一些时间思考．随后，有学生回答说：“可以用定义凑．”这时教师没有对学生的这一想法做出回应，而是转而引导学生关注[af (x)]＇ ＝ af ＇(x) ，按照自己预设的方式逐步得出了[ f (x)· g(x)]＇ ＝ f ＇(x)g(x) ＋ f (x)g＇(x) ．在这一教学片断中，教师对预设性留白处理得较好，给了学生时间思考函数积的求导法则，但是却没有对学生思考的结果进行即时反馈，仍按预设计划完成了教学，没能进行有效的生成性留白，这是值得商榷之处．虽然教材中对求导法则的证明不作要求，但是学生已经想到了“用定义来凑”，教师其实可以给学生更多机会表达自己的想法，引导其从定义出发尝试推导两个函数积的求导法则，或者也可以将用定义证明留作探究题让学生回去思考，而不是回避．

  4.3 课堂留白流于形式而缺少思维含量

  随着课堂留白研究的日益深入，越来越多的数学教师在教学实践中积极进行探索，然而高质量的数学课堂留白却仍不多．如果教师只是一味地留给学生足够的思考时间，而不进行实质意义的研究，是没有任何学习效果的[13]．换言之，“留白”并不是完全的“空白”，教师应当基于对教学内容的深刻理解以及对学生学习特点的把握，合理安排教学进度，通过恰当的留白启发学生思考．在数学课堂中，留白艺术的运用是为了促进数学教学，切忌为了留白而留白，流于形式、缺少思维含量的课堂留白并不能“教学生学会思考”．张奠宙先生指出，数学课堂教学的优劣，自然应该以学生是否能学好“数学”为依归，教育手段必须为教学内容服务[14]．数学课堂有着不同于其它学科教学的自身特点，这就要求教师理解数学内容的本质，关注数学学科核心素养的培养，有的放矢地进行课堂留白[16-23]．

  案例 3：正弦定理
  一位教师试图通过如下的教学活动引导学生发现三角形的正弦定理：让学生随便画三角形，量 a、b、∠A、∠B，用计算器计算相关比值；然后分组测量，汇报结果，猜想结．对此，张奠宙先生认为这样做不是数学思考，正弦定理绝对不是量出来的．数学不能靠大家意见相同就得到结论，必须证明，况且正弦定理的证明也很简单．花费大量时间计算，乃是败笔[15]．在这一案例中，教师设计了看似“丰富”的教学活动，学生也确实都“动”起来了，但却缺少思维含量，这样的课堂留白不利于促进学生思考，反而会影响学生对正弦定理的理解，甚至造成数学观的扭曲，无疑是不恰当的．与其追求形式上的热闹，不如将宝贵的教学时间用于正弦定理的推导与证明，引导学生感悟其中所蕴含的化归等数学思想方法，理解正弦定理的本质，真正发挥课堂留白的作用．

  新一轮的课程改革承载着核心素养培养的旨趣，对数学课堂教学提出了新的要求，课堂留白艺术的运用就是颇具魅力的一个重要方面．研究者基于对数学课堂留白艺术的理论探析，对教学实践中存在的问题进行了反思．其中一些思考还是初步和概要的，许多问题尚未完全厘清，后续可根据数学课堂教学案例进行深入分析，结合具体问题提出更有针对性的教学策略与建议，并在实践中积极检验、修正．

 

[1] 李如密．课堂教学中的布白艺术[J]．教育科学，2003，19（1）：35-37．

[2] 马复．数学教育需要留白艺术[J]．上海课程教学研究，2017（2）：3-8．

[3] 娄爱玉．高中数学课堂教学的留白艺术[J]．高中数学教与学，2015（2）：21-22．

[4] ROWE M. Wait time: slowing down may be a way of speeding up [J]. Journal of Teacher Education, 1986, 37 (1):43-50．